Claude Fable 5が数学難問の反例を発見か

Anthropicに所属する数学者レベント・アルポゲ（Levent Alpoge）氏は、同社の最新AIモデル「Claude Fable 5」を活用し、数学界で1939年以来87年間にわたり未解決だった「ヤコビアン予想」に対する反例となる数式を発見したと報告しました。AIが単なる計算補助にとどまらず、長年人間の数学者が解き明かせなかった未解決問題の前提を覆す反例を導き出した事例として注目を集めています。

ヤコビアン予想の概要と発見された具体例

ヤコビアン予想（1939年にオット＝ハインリヒ・ケラーが定式化した代数幾何学の未解決問題）は、ドイツの数学者オット＝ハインリヒ・ケラーが定式化した多項式写像に関する問題です。「複素数のn変数を同じn変数へ移す多項式写像において、各点の近くにおける体積変化を表すヤコビアン行列式がゼロでない定数であれば、空間全体でも逆写像（元に戻す関数）が多項式として存在する」という予想を主張していました。

アルポゲ氏は数学者アキル・マシュー氏の提案を受け、Claude Fable 5に対して反例の探索を指示しました。その結果、Fable 5はヤコビアン行列式が常に「-2」という一定値を取る3変数の多項式写像を提示しました。この写像では、以下の3つの異なる入力座標が同一の出力座標へ対応することが確認されました。

• ​入力点1: (0, 0, -1/4)
• ​入力点2: (1, -3/2, 13/2)
• ​入力点3: (-1, 3/2, 13/2)
• ​出力点​: (-1/4, 0, 0)

異なる入力が同一の出力へ潰れるため、空間全体で一意に逆展開する単射性が失われています。これにより、3変数以上におけるヤコビアン予想が偽であることが示されました。

定理証明支援システムLeanによる形式化検証

生成AIが提示した数式には細かな代入誤差や計算違いが含まれるリスクがあるため、人間および検証ツールによる独立した検証が欠かせません。

今回の発見を受け、インペリアル・カレッジ・ロンドンの研究者ポール・ルゾー（Paul Lezeau）氏は、定理証明支援システム「Lean」を用いてこの反例の形式化記述を行いました。Google DeepMindが管理する数学予想リポジトリ「Formal Conjectures」に対してプルリクエストが提出されており、ヤコビアン行列式が-2となること、および写像が単射でないことがコードレベルで確認可能な状態となっています。

人間数学者とAIの役割比較における独自観察

従来の数学研究におけるAI利用と今回の事例を比較すると、AIの役割が「既知の定理の検索」や「既存コードの補助」から「探索空間における反例の自律生成」へ大きく飛躍していることが分かります。

比較項目	従来のAI活用（証明補助）	Claude Fable 5の事例
​研究上の主な役割​	既知の計算手順の実行・論文検索	未解決予想に対する反例の具体生成
​人間の数学者の役割​	解法の立案と記述の全工程	探索問題の定式化とLeanによる形式検証
​成果の検証手法​	人手による査読	Lean等のフォーマルチェッカーによる自動証明

未確認事項と今後の展望

本成果に関して現時点で未確認・議論中となっている点は以下の通りです：

• 2変数（2次元）における成立性​: 今回発見された反例は3変数の空間に関するものであり、2変数のヤコビアン予想が真か偽かについては依然として未解明です。
• ​数学的直感の解明​: 形式化数学プロジェクト「Xena Project」が指摘するように、提示された反例の計算が正しいことの確認に加え、「なぜこの反例が機能するのか」という構造的な理由を人間が直感的に理解する作業が今後の課題となります。

今回の事例は、推論能力を高めたAIモデルが高度な数学研究において有力なパートナーとなることを実証しました。今後は、他の長年の未解決問題においてもAIを活用した探索と形式検証の組み合わせが標準的な研究手法として定着していくと予想されます。